Στη μονή που ίδρυσε κοντά στον Ευφράτη ποταμό, τετρακόσιοι μοναχοί χωρίστηκαν σε εικοσιτέσσερις ομάδες και έψαλλαν τους ιερούς ψαλμούς αδιάλειπτα μέρα και νύχτα. Ο ίδιος ο όσιος προσευχήθηκε τρία ολόκληρα χρόνια ζητώντας θεϊκή φανέρωση, για να μάθει αν αρέσει στον Κύριο αυτή η ασυνήθιστη μοναχική τάξη που σκεφτόταν να καθιερώσει. Ο Αλέξανδρος γεννήθηκε στην Ασία και έλαβε τη μόρφωσή του στην Κωνσταντινούπολη, όπου διακρίθηκε για την ευφυΐα και την παιδεία του.

Για κάποιο διάστημα υπηρέτησε στον στρατό, όμως η ψυχή του ζητούσε μια άλλη υπηρεσία, βαθύτερη και πνευματική. Έτσι άφησε τον κόσμο και πήρε το αγγελικό σχήμα σε μια ερημική μονή κοντά στην Αντιόχεια, υπό την καθοδήγηση του ηγουμένου Ηλία. Πέρασε με υπακοή και ταπείνωση όλους τους βαθμούς της μοναχικής ζωής, κερδίζοντας την εκτίμηση και την ευλογία του γέροντά του. Όταν ωρίμασε πνευματικά, ζήτησε και έλαβε την άδεια να αποσυρθεί στην έρημο, ώστε να αφοσιωθεί ολοκληρωτικά στην προσευχή.

Στην έρημο έζησε σκληρή ασκητική ζωή, παίρνοντας μαζί του μόνο το ιερό Ευαγγέλιο ως οδηγό και σύντροφο της καρδιάς του. Ύστερα από χρόνια σιωπής και αδιάκοπης προσευχής, ο Κύριος τον κάλεσε να βγει από την έρημο και να κηρύξει τον λόγο της πίστης στους ειδωλολάτρες. Έφτασε σε μια πόλη όπου ο τοπικός άρχοντας Ραββούλας τον δέχτηκε με σεβασμό και άκουσε με προσοχή τη διδασκαλία του. Ο άρχοντας πίστεψε στον Χριστό, βαπτίστηκε και αφιερώθηκε ολοκληρωτικά στην υπηρεσία της Εκκλησίας με ζήλο και αγάπη.

Προόδευσε πνευματικά τόσο πολύ, ώστε αργότερα ανέβηκε στον επισκοπικό θρόνο της Έδεσσας. Εκεί ποίμανε τους πιστούς με αγάπη και σύνεση για τριάντα ολόκληρα χρόνια, αφήνοντας ευλογημένη παρακαταθήκη. Μετά από αυτή την αποστολική περιοδεία, ο όσιος Αλέξανδρος εγκαταστάθηκε σε έναν τόπο όχι μακριά από τον ποταμό Ευφράτη, αναζητώντας ησυχία και προσευχή. Όμως η φήμη του απλώθηκε γρήγορα στις γύρω περιοχές και στις ασκητικές κοινότητες της εποχής. Μοναχοί από διάφορους τόπους έτρεχαν κοντά του, τραβηγμένοι από το ύψος της προσευχής του και τη βαθιά πνευματική του πείρα.

Σιγά σιγά γύρω από τον ασκητή σχηματίστηκε μια μεγάλη αδελφότητα, που έφτασε σύντομα τους τετρακόσιους μοναχούς, όλους αφοσιωμένους στην προσευχή. Όταν η αδελφότητα μεγάλωσε και στερεώθηκε, ο όσιος ηγούμενος συνέλαβε μια τολμηρή και πρωτότυπη πνευματική επιθυμία μέσα στην καρδιά του. Σκέφτηκε να προσφέρεται στον Κύριο αδιάκοπη δοξολογία και ψαλμωδία μέσα στη μονή, χωρίς διακοπή, μέρα και νύχτα. Για τρία ολόκληρα χρόνια ο άγιος αββάς προσευχόταν θερμά, ζητώντας από τον Θεό να του αποκαλύψει αν αυτή η τάξη ήταν ευάρεστη ενώπιόν του.

Τελικά έλαβε φωτεινή απάντηση μέσω θείας αποκάλυψης και προχώρησε με βεβαιότητα στην εφαρμογή του σχεδίου του. Χώρισε όλους τους μοναχούς σε εικοσιτέσσερις βάρδιες προσευχής, ώστε να καλύπτεται κάθε ώρα του εικοσιτετραώρου. Δύο χοροί έψαλλαν τους ιερούς ψαλμούς εναλλάξ, αλλάζοντας βάρδια κάθε ώρα, μέρα και νύχτα. Η ψαλμωδία διακοπτόταν μόνο όταν τελούνταν οι θείες ακολουθίες μέσα στον ναό της μονής. Έτσι η μονή πήρε την ονομασία «των Ακοιμήτων», γιατί οι ασκητές της πρόσφεραν στον Θεό αδιάλειπτη και ακατάπαυστη δοξολογία.

Η φήμη της εξαπλώθηκε σε ολόκληρη την Ανατολή, και πολλοί επισκέπτες έρχονταν για να ακούσουν αυτή τη θαυμαστή προσευχή που δεν σταματούσε ποτέ. Ο όσιος Αλέξανδρος καθοδήγησε τη μονή στον Ευφράτη για δώδεκα ολόκληρα χρόνια με σύνεση, αγάπη και πατρική φροντίδα. Έπειτα άφησε ως ηγούμενο τον έμπειρο γέροντα Τρόφιμο, εμπιστευόμενος σε αυτόν την πνευματική προστασία της αδελφότητας. Ο ίδιος ξεκίνησε ένα νέο ιεραποστολικό ταξίδι μαζί με μερικούς εκλεκτούς αδελφούς, αποφασισμένος να κηρύξει το Ευαγγέλιο.

Διέσχισε τις πόλεις που βρίσκονταν στα σύνορα με την Περσία, μεταφέροντας τον λόγο του Χριστού σε ψυχές που τον αγνοούσαν. Έπειτα έφτασε στην Κωνσταντινούπολη, την πρωτεύουσα της Βυζαντινής αυτοκρατορίας και κέντρο της χριστιανικής οικουμένης εκείνη την εποχή. Εκεί ίδρυσε και δεύτερη μονή, εφαρμόζοντας τον ίδιο τύπο της αδιάλειπτης δοξολογίας, όπως και στον Ευφράτη. Η νέα μονή έγινε φάρος προσευχής μέσα στην αυτοκρατορική πόλη, και πολλοί έσπευσαν να ενταχθούν σε αυτήν.

Ο αββάς κοιμήθηκε σε βαθύτατο γήρας, ύστερα από πενήντα χρόνια αδιάκοπων μοναχικών αγώνων και πνευματικής εργασίας. Η οσιακή του κοίμηση συνέβη γύρω στα τετρακόσια τριάντα μετά Χριστόν, αφήνοντας πίσω του πλούσια πνευματική κληρονομιά. Η μνήμη του τιμάται επίσης την τρίτη Ιουλίου, ως ευλογημένη υπόμνηση της αδιάλειπτης προσευχής του.